Wzór na spadek napięcia – jak go obliczyć?

Nie do końca łapiesz, skąd we wzorach na spadek napięcia pojawia się liczba 200 dla obwodu jednofazowego, a 100 dla trójfazowego? Z tego artykułu dowiesz się, jak te wzory powstają i jak z nich korzystać w praktyce. Zobaczysz też, jak na tej podstawie dobiera się przekroje przewodów.

Co to jest spadek napięcia i kiedy trzeba go liczyć?

Każdy przewód zasilający jest jednocześnie rezystorem. Ma pewną rezystancję i reaktancję, więc gdy płynie przez niego prąd, część energii zamienia się w ciepło, a na długości przewodu pojawia się spadek napięcia. W rozdzielnicy możesz mieć 230 V, a w gniazdku oddalonym o 20 m już na przykład 228 V.

W sieciach dystrybucyjnych poniżej 1 kV spadek napięcia ma duże znaczenie dla poprawnej pracy odbiorników. Dlatego w projektowaniu instalacji nn i SN stosuje się kryterium: \(\Delta U_{\text{max}} \leq \Delta U_{\text{dop}}\). Dopuszczalne wartości wyznaczają normy i przepisy (m.in. PN‑EN 60364‑5‑52:2011) i podaje się je najczęściej w procentach, a nie w woltach.

Typowe wartości w instalacjach niskiego napięcia wyglądają tak:

• obwody oświetleniowe – maksymalny spadek napięcia od przyłącza do oprawy oświetleniowej 3%,

• pozostałe obwody odbiorcze – dopuszczalny spadek napięcia 5%,

• kabel zasilający dom lub mieszkanie – w praktyce dąży się do spadku do około 1%.

W sieci promieniowej wielostopniowej całkowity spadek napięcia liczysz jako sumę spadków na kolejnych odcinkach toru prądowego: \(\Delta U_m = \sum_{j=1}^{m} \Delta U_j(j+1)\). Na każdym odcinku wpływ mają te same wielkości: długość przewodu, przekrój, konduktywność żyły, prąd obciążenia i charakter odbiornika.

Skąd biorą się wzory na spadek napięcia?

Rdzeń sprawy jest prosty. Zaczynasz od trzech zależności: prawa Ohma, definicji rezystancji przewodu oraz zależności między mocą, prądem i napięciem. Cała „magia” liczby 200 lub 100 wynika z tych samych kilku kroków matematycznych i przyjętych jednostek.

Wzory z liczbami 200 i 100 to uproszczone postacie ogólnego wzoru na spadek napięcia, przekształcone tak, by wynik od razu był podany w procentach.

Na dowolnym odcinku toru prądowego o długości l, przekroju S i konduktywności \(\gamma\) rezystancję przewodu opisuje wzór: \(R = \dfrac{l}{\gamma S}\). Reaktancję odcinka l zapisuje się jako: \(X = X” \cdot l \cdot 10^{-3}\), gdzie \(X”\) to jednostkowa reaktancja w \(\text{m}\Omega/\text{m}\).

Dla bardziej dokładnych obliczeń stosuje się postać wektorową spadku napięcia, w której pojawia się składnik \(R \cos \varphi + X \sin \varphi\). Dla obwodu z prądem obciążenia \(I_B\) wygląda to tak:

Wzór ogólny – obwód jednofazowy

Dla linii jednofazowej spadek napięcia obliczysz ze wzoru:

\(\Delta U_\% = \dfrac{200}{U_{Nf}} I_B (R \cos \varphi + X \sin \varphi)\)

Skąd wziął się współczynnik 200? Zacznij od spadku napięcia w woltach:

\(\Delta U = I_B (R \cos \varphi + X \sin \varphi)\)

Teraz chcesz przejść na procenty w stosunku do napięcia fazowego \(U_{Nf}\):

\(\Delta U_\% = \dfrac{\Delta U}{U_{Nf}} \cdot 100 = \dfrac{I_B (R \cos \varphi + X \sin \varphi)}{U_{Nf}} \cdot 100\)

W obwodzie jednofazowym prąd płynie tam i z powrotem przewodami czynnymi (faza – neutralny). Całkowita długość toru prądowego jest więc równa 2l, a tym samym rezystancja i reaktancja odcinka to w praktyce dwukrotność wartości jednostronnych. Ten „podwójny” tor prądowy odpowiada współczynnikowi 2, który po przemnożeniu przez 100 daje właśnie 200.

Innymi słowy: 100 wynika z przejścia na procenty, a dodatkowy mnożnik 2 – z faktu, że prąd pokonuje drogę tam i z powrotem. To tłumaczy, dlaczego w jednofazowym wzorze pojawia się 200, a nie 100.

Wzór ogólny – obwód trójfazowy

Dla obwodów trójfazowych spadek napięcia zapisuje się jako:

\(\Delta U_\% = \dfrac{\sqrt{3} \cdot 100}{U_N} I_B (R \cos \varphi + X \sin \varphi)\)

W tym przypadku napięcie odniesienia to napięcie międzyprzewodowe \(U_N\) (np. 400 V). W torze prądowym uwzględnia się geometrie układu trójfazowego – stąd pojawia się pierwiastek z trzech. Współczynnik 100 znów wynika z przejścia z woltów na procenty.

To, że w liczniku jest 100, a nie 200, jest związane z inną definicją toru prądowego w układzie trójfazowym. Dla jednej fazy prąd płynie jednym przewodem fazowym i wraca inną fazą lub przewodem neutralnym, ale przy przeliczaniu na napięcie międzyprzewodowe używa się innej zależności geometrycznej niż w prostym „2l” jak w układzie jednofazowym.

Dlaczego w uproszczonych wzorach na spadek napięcia jest 200 i 100?

W obliczeniach projektowych często pomija się reaktancję przewodów, bo w typowych instalacjach nn jest ona dużo mniejsza niż rezystancja. Dla przewodów miedzianych do około 50 mm² oraz aluminiowych do 70 mm² rezystancja żyły jest zwykle ponad cztery razy większa od reaktancji, więc przybliżenie jest bardzo dobre.

W takim uproszczeniu korzysta się ze wzorów:

Obwód jednofazowy: \(\Delta U_\% = \dfrac{200 P l}{\gamma S U_N^2}\)

Obwód trójfazowy: \(\Delta U_\% = \dfrac{100 P l}{\gamma S U_{Nf}^2}\)

Wartość 200 w jednofazie i 100 w trójfazie wynika tu z kilku rzeczy „zebranych w jedno”: przejścia z prądu na moc czynną P, użycia napięcia fazowego lub międzyfazowego, uwzględnienia całkowitej długości toru prądowego oraz przeliczenia wyniku na procenty.

Jak przejść od wzoru z prądem do wzoru z mocą?

Wzór wyjściowy na spadek napięcia (bez reaktancji) to:

\(\Delta U = I \cdot R = I \cdot \dfrac{l}{\gamma S}\)

Przechodzisz teraz na procenty: \(\Delta U_\% = \dfrac{\Delta U}{U} \cdot 100\). Otrzymasz:

\(\Delta U_\% = \dfrac{I \cdot l}{\gamma S \cdot U} \cdot 100\)

Prąd I możesz wyrazić mocą czynną. Dla odbioru jednofazowego:

\(P = U_f I \cos \varphi \Rightarrow I = \dfrac{P}{U_f \cos \varphi}\)

Po podstawieniu i uporządkowaniu wyrazów, korzystając z przyjęć dotyczących \(\cos \varphi\) oraz faktu, że tor prądowy w jednofazie ma efektywnie długość 2l, otrzymasz postać uproszczoną z liczbą 200 w liczniku. Dla obwodów trójfazowych, przy zależności \(P = \sqrt{3} U_m I \cos \varphi\), podobne przekształcenia prowadzą do współczynnika 100.

W liczbach 200 i 100 „schowane” są: podwójna długość toru prądowego, przejście z prądu na moc, napięcie odniesienia oraz przeliczenie na procenty.

Dlatego w gotowych kalkulatorach widzisz stałe 200 i 100. Są one zwyczajnie wygodnym skrótem całego łańcucha przekształceń, zrobionym raz, by nie liczyć tego od początku przy każdym projekcie.

Jak dobrać przekrój przewodu z warunku spadku napięcia?

Skoro znasz już pochodzenie wzorów, możesz odwrócić je tak, by obliczyć wymagany przekrój przewodu przy zadanym dopuszczalnym spadku napięcia. To w praktyce jedna z najczęstszych operacji przy projektowaniu instalacji.

Dobór przewodu w obwodzie jednofazowym

Uproszczony wzór dla jednofazowego obwodu o mocy P, długości l i napięciu fazowym \(U_f\) wygląda tak:

\(\Delta U_\% = \dfrac{200 P l}{\gamma S U_f^2}\)

Jeśli znasz dopuszczalny spadek napięcia \(\Delta U_{\text{dop}\%}\), łatwo wyznaczyć z tego wzoru minimalny przekrój S:

\(S = \dfrac{200 P l}{\gamma U_f^2 \Delta U_{\text{dop}\%}}\)

Załóżmy instalację domową z przewodami miedzianymi \(\gamma = 56 \text{ m}/(\Omega \cdot \text{mm}^2)\). Jeśli masz grzejnik 2,5 kW zasilany 230 V i odległość 30 m od rozdzielnicy, to dla przewodu 2,5 mm² spadek wyniesie:

\(\Delta U_\% = \dfrac{200 \cdot 2500 \cdot 30}{56 \cdot 2{,}5 \cdot 230^2} \approx 2{,}02\%\)

Dla przewodu 1,5 mm²:

\(\Delta U_\% = \dfrac{200 \cdot 2500 \cdot 30}{56 \cdot 1{,}5 \cdot 230^2} \approx 3{,}37\%\)

Jeśli zakładasz limit na poziomie 3%, to 1,5 mm² już przekracza wymaganie. Przewód 2,5 mm² spełnia warunek z zapasem.

Dobór przewodu w obwodzie trójfazowym

Dla obwodów trójfazowych stosujesz wzór:

\(\Delta U_\% = \dfrac{100 P l}{\gamma S U_m^2}\)

Wyznaczenie przekroju wygląda analogicznie:

\(S = \dfrac{100 P l}{\gamma U_m^2 \Delta U_{\text{dop}\%}}\)

Załóżmy zasilanie domu jednorodzinnego z sieci 400 V, moc przyłączeniowa 16 kW, długość przewodu 25 m. Dla przewodu 6 mm² (Cu) spadek napięcia będzie równy:

\(\Delta U_\% = \dfrac{100 \cdot 16000 \cdot 25}{56 \cdot 6 \cdot 400^2} \approx 0{,}74\%\)

Jeśli przyjmiesz limit 0,5% dla odcinka zasilającego, 6 mm² jest nieco za mało. Po zwiększeniu przekroju do 10 mm² otrzymasz:

\(\Delta U_\% = \dfrac{100 \cdot 16000 \cdot 25}{56 \cdot 10 \cdot 400^2} \approx 0{,}45\%\)

W takiej konfiguracji warunek jest spełniony, a przewód nie powoduje zbyt dużej straty napięcia między przyłączem a rozdzielnicą.

Jak dobrać dane wejściowe do obliczeń spadku napięcia?

Aby wzory na spadek napięcia działały poprawnie, musisz pilnować jednostek i wartości parametrów materiałowych. Błędy na tym etapie łatwo zawyżają lub zaniżają wynik o kilka dziesiątych procenta, co przy długich odcinkach może być istotne.

Jakie jednostki i parametry przyjmować?

W obliczeniach projektowych przyjmuje się następujące jednostki:

• długość przewodu l – w metrach,

• przekrój S – w mm²,

• konduktywność \(\gamma\) – w \(\text{m}/(\Omega \cdot \text{mm}^2)\),

• moc P – w watach,

• napięcie U – w woltach.

Dla najpopularniejszych materiałów żył przyjmuje się:

• \(\gamma = 56\) m/(\(\Omega \cdot\)mm²) – żyły miedziane,

• \(\gamma = 33\) m/(\(\Omega \cdot\)mm²) – żyły aluminiowe.

Jednostkowe reaktancje \(X”\) dla różnych typów linii przyjmuje się orientacyjnie jako:

• kable niskiego napięcia – około 0,07–0,08 mΩ/m,

• instalacje elektryczne w rurkach – około 0,10 mΩ/m,

• linie napowietrzne nn – około 0,25–0,30 mΩ/m.

W większości instalacji wewnętrznych nn o przekrojach przewodów poniżej 50 mm² Cu i 70 mm² Al można pominąć reaktancję, ponieważ jej wpływ jest kilkukrotnie mniejszy niż wpływ samej rezystancji żył. Daje to wystarczającą dokładność w zastosowaniach praktycznych.

Jak wykorzystać spadek napięcia przy doborze przewodu?

W typowym procesie projektowania instalacji niskiego napięcia przekrój przewodu weryfikuje się z kilku stron: obciążalności prądowej, spadku napięcia, samoczynnego wyłączenia zasilania oraz wymagań mechanicznych. Spadek napięcia najprościej wykorzystasz do sprawdzenia, czy wstępnie założony przekrój nie powoduje zbyt dużych strat.

Dla danego obwodu możesz kolejno policzyć:

1. obciążenie mocowe P z sumy mocy odbiorników,

2. natężenie prądu I na podstawie mocy i napięcia,

3. wymaganą obciążalność prądową przewodu z tabel,

4. procentowy spadek napięcia ze wzoru z 200 lub 100,

5. ewentualnie ponownie dobrać większy przekrój S, jeśli spadek przekracza wartość dopuszczalną.

W obwodach o znacznych długościach lub przy dużych prądach (na przykład zasilanie budynku, długie ciągi oświetleniowe, zasilanie urządzeń o dużej mocy) ograniczenie spadku napięcia często wymusza zwiększenie przekroju przewodów ponad minimalną wartość wynikającą z obciążalności prądowej. To właśnie wtedy rola wzoru na spadek napięcia staje się najbardziej widoczna.